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Les Points de Lagrange : quand la mécanique orbitale donne un coup de pouce à l'exploration spatiale

Eric Bottlaender
Spécialiste espace
12 février 2021 à 15h58
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Lagrange influence gravitationnelle1 © Wikipedia
Les influenceurs... A l'échelle planétaire. Crédits Wikipedia

Vous savez qu'on y envoie parfois des télescopes, mais que sont les points de Lagrange ? Exercice fascinant de mécanique orbitale, il est possible de profiter de ces zones pour de l'observation, mais aussi pour des voyages au long-cours !

La physique a même tendance à y piéger parfois quelques astéroïdes…

Une valse à trois temps…

Grâce aux équations de mécanique newtonienne, il est peu complexe de comprendre comment deux corps se déplacent et interagissent l'un avec l'autre dans l'espace. Avec trois corps (ou plus), même en les faisant évoluer sur un plan, donc en 2D, les mathématiques deviennent beaucoup plus difficiles. Notamment parce que dans de nombreux cas, les 3 (ou n) corps vont générer des mouvements qui ne se répètent pas sur le long terme : c'est un système instable. Il est cependant possible d'avoir des configurations du « problème à trois corps » qui sont stables. Vous en connaissez beaucoup : le trio Terre-Lune-Soleil , par exemple.

Lagrange Terre-Lune © NASA
Terre et Lune observés depuis le Point de Lagrange L1 (véritable photo). Crédits NASA.

Il est aussi possible de simplifier ce problème de mécanique spatiale (souvent appelé 3bp) en paramétrant les masses des trois corps. En effet, si l'un des trois a une masse négligeable par rapport aux deux autres, il ne va les influencer que de façon négligeable. Et là, cela revient à calculer uniquement la position du 3e corps, puisque les mouvements et positions des deux plus gros peuvent être établis par un calcul simple.

Grasses maths

Une minute, mais pourquoi sommes-nous en train de faire de la mécanique spatiale ? Après tout, on connait bien la position de la Lune, non ? Figurez-vous que ce problème à trois corps a animé bien des journées de grands mathématiciens au XVIIIe siècle, comme Euler et Lagrange. Et qu'il a des applications pratiques aujourd'hui, pour calculer par exemple la trajectoire des astéroïdes passant près de la Terre, pour établir la trajectoire d'une sonde que l'on envoie vers d'autres planètes, ou pour optimiser le carburant d'une mission lunaire. Car en termes d'énergie, toutes les trajectoires ne se valent pas : l'objectif en général est d'arriver à destination avec le minimum d'énergie à dépenser pour rester sur place.

Il se trouve que dans la recherche de solutions pour ce problème à 3 corps simplifié, il existe des points pour lesquels l'attraction gravitationnelle des deux plus gros corps s'annule. Dans ce référentiel, et à certaines conditions de stabilité, le 3e corps est alors immobile par rapport aux deux autres. Ce sont ces points que l'on appelle Points de Lagrange (ou points d'Euler-Lagrange, ou points d'équilibre). Pour faire bonne mesure d'ailleurs, il faudrait toujours citer les deux corps auxquels on fait référence (Terre-Soleil, par exemple). Les points de Lagrange sont au nombre de cinq. Mais la physique est cruelle, tous ne fournissent pas des conditions parfaites : L1, L2 et L3 sont des points d'équilibre naturellement instables. Sans correction de trajectoire de temps en temps, aucun véhicule ne pourrait y rester…

Lagrange L1 à L5 © Wikipedia

Plus c'est gros, et mieux ça passe

Les Points de Lagrange L4 et L5 étant naturellement stables, il est possible d'y trouver des poussières interplanétaires, mais aussi des astéroïdes qui, après plusieurs survols de planètes, pourraient se retrouver avec suffisamment peu de vitesse pour se faire « capturer » par ces zones. On les appelle les Troyens. Longtemps, n'ont été connus que les milliers d'astéroïdes bloqués sur l'orbite de Jupiter , qui sont si nombreux que ceux autour de L4 s'appellent les Troyens et ceux de L5, les Grecs. Cela s'explique car Jupiter est la plus grosse planète de notre Système solaire, et dispose de très loin de la masse la plus élevée. Son action a été déterminante dans les débuts de la formation planétaire, et de nombreux débris sont restés près d'elle (Jupiter a même un effet puissant sur la Ceinture d'astéroïdes).

Aucune surprise donc de retrouver aux point de Lagrange Soleil-Jupiter L4 et L5, une importante population de « briques élémentaires » du Système solaire. La mission Lucy de la NASA, qui devrait décoller en 2021, aura un profil de mission assez unique : après son décollage de la Terre, elle foncera vers le point de Lagrange Soleil-Jupiter L4, y survolera des astéroïdes, reviendra vers la Terre, puis repartira dans une autre ellipse vers le point de Lagrange Soleil-Jupiter L5.

Lucy NASA mission © NASA
Vue d'artiste de la mission Lucy. Crédits NASA

Les Troyens de Lagrange

Jupiter n'est pas un cas isolé. Il existe des Troyens identifiés pour Neptune, Uranus, Mars, Venus (non confirmé) et même la Terre. En effet, cela fait 10 ans que l'astéroïde 2010 TK7 a été découvert au Point de Lagrange Soleil-Terre L4. Lors de son transfert vers l'astéroïde Bennu entre 2016 et 2018, la mission OSIRIS-REx de la NASA avait tenté d'observer les points de Lagrange Soleil-Terre pour y trouver de nouveaux candidats, sans succès. En raison de leur stabilité, on devrait toutefois y retrouver des poussières, voire même des nuages de poussières qui potentiellement peuvent s'agréger. On parle alors de nuages de Kordylewski (utile pour frimer dans un dîner).

Cela dit, il n'y a pas qu'entre les planètes et le Soleil qu'il existe des points de Lagrange. La physique fonctionne tout aussi bien entre une planète et ses lunes : il existe donc aussi une zone stable aux points L4 et L5 du système Terre-Lune… Mais aucun satellite naturel n'a été découvert sur ces points. Du moins, autour de la Terre. La mission Cassini, qui a étudié le système saturnien, a révélé plusieurs toutes petites lunes capturées dans les points de Lagrange de ses propres satellites. C'est le cas de Télesto et Calypso pour les points de Lagrange Saturne-Téthys, et d'Hélène et Pollux pour les points de Lagrange Saturne-Dioné.

Lagrange Telesto Saturne © NASA/JPL-Caltech
La petite lune Telesto, en orbite sur un point de Lagrange Saturne-Téthys. Crédits NASA/JPL-Caltech

Un point de Lagrange, c'est économique

S'ils ne sont pas stables naturellement, il faut souligner que les points de Lagrange L1, L2 et L3 offrent des conditions absolument uniques d'observation. Pour le système Soleil-Terre par exemple, il est possible au L1 d'observer le Soleil avec le même point de vue fixe que sur Terre, mais sans l'atmosphère et 1,5 millions de kilomètres plus près. Et en se retournant, d'observer l'ensemble du disque terrestre éclairé par le Soleil en temps réel. Idéal donc pour les missions héliophysiques. De l'autre côté au point L2, il est possible d'avoir un éclairage solaire constant, et d'avoir toutes les interférences générées par la Terre dans le « dos », ce qui est idéal pour les télescopes . Alors, peut-on rester à ces points de Lagrange ? Oui. Il est possible d'y orbiter même, ce qui nécessite de minuscules poussées de correction, mais permet de laisser des missions de plus d'une décennie à des points de Lagrange. Passez facilement pour un expert en mécanique orbitale en glissant « orbite de Liapounov » dans une discussion.

Lagrange Planck trajectoire © ESA/C.Garreau
La trajectoire du télescope Planck vers le Point de Lagrange L2, puis son orbite. Crédits ESA/C.Garreau

Les missions au points de Lagrange sont à la mode. Car avec le temps, les agences savent de mieux en mieux gérer les trajectoires des missions, et plus de précision, c'est plus d'économies et de possibilités. On retrouve Soho, DSCOVR ou LISA Pathfinder qui sont allés au L1 Soleil-Terre, Herschel, Planck ou Gaia qui sont au L2 Soleil-Terre. Ou même la sonde relai Queqiao chinoise, qui est sur une orbite « halo » autour du L2 Terre-Lune, ce qui lui permet d'avoir systématiquement la Terre et la face cachée de la Lune en visu.

Pour des missions habitées au long cours, il y a des projets de quelques semaines à passer aux points de Lagrange. Et pour plus ambitieux, il serait éventuellement possible d'y laisser des dépôts de carburants pour pouvoir, en quittant le système Soleil-Terre, atteindre des destinations plus exotiques du Système Solaire…

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Oldtimer
Passionnant !<br /> Je connais aussi des points Lagrange où il y en a plein qui ont eu des interactions coquines
dfinit
Bravo pour l’article,<br /> et les points d’humour!
xryl
Non, tu confonds avec le point G.
Oldtimer
Si et seulement si les points Lagrange nécessite d’entrer dans un trou noire où tout n’est que volupté et extase.
Element_n90
@Eric<br /> Vous n’avez pas détaillé pour L3, c’est par ce qu’on ne peut pas y faire grand chose vu qu’il est déjà occupé par Clarion ?
Element_n90
Avec toute ces sondes sur les mêmes points, il n’y a pas de risque de collisions à la longue ?
ebottlaender
L3 n’est pas une zone stable, c’est difficile de s’y rendre depuis la Terre et l’intérêt est particulièrement limité (éventuellement pour un télescope observant le parallaxe, et donc faisant de la «&nbsp;3D&nbsp;» avec un autre autour de la Terre.<br /> Et sinon, comme on le précise dans l’article il s’agit de zones, pas d’un point en 3D dans l’espace en mode panneau «&nbsp;vous êtes ici au L2&nbsp;». Les véhicules orbitent autour sur de larges ellipses, il n’y a donc que très peu de risques de collision. Les débris ne resteraient en plus pas au L1 ou L2 puisque… bon, on l’a dit, c’est pas stable.
srochain
Le mot point n’est pas très approprié en réalité. Il s’agit d’une très grande cuvette à l’intérieur de laquelle les objets qui l’occupe orbitent sensiblement à la même vitesse et les risques de collision en sont d’autant plus limités
Demongornot
C’est un très bon article, mais j’aimerais contribuer à l’explication pour que cela soit plus intuitif à comprendre.<br /> Tout d’abord, rappel de quelques fondamentaux.<br /> Lors ce qu’il n’y a pas d’atmosphère pour influencer, tout objet quelque soit ça taille et sa masse tomberont à la même vitesse, démonstration dans une grande chambre sous vide en laissant tomber une boule de Bowling et des plumes :<br /> Dans un premier temps avec de l’air à l’intérieur, les plumes tombent doucement, mais c’est le rapport poids/volume contre celui de la densité du fluide (ici des gaz, l’air) qui cause cela, tout comme un parachute fermer et un parachute ouvert tomberont à des vitesses largement différentes mais pourtant ont le même poids.<br /> Dans le vide, tout objets est soumis de façon identique à la force de la gravité.<br /> Maintenant, prenons un autre exemple, la balistique, même si cela ne semble pas être le cas, si vous mainteniez un fusil parfaitement horizontalement sur un sol très plat, et que lors ce que vous tiriez, vous lâchiez également un objet à la même hauteur que le canon, le dit objet et le projectile toucheront le sol au même moment, en fait ils auront toujours la même hauteur et tomberont en unisson, comme si la vitesse horizontale n’avais aucun effet.<br /> Comme on peut le voir ici :<br /> 800×600 3.9 MB<br /> Les MythBusters l’on testait, et en prenant en compte une marge d’erreur, c’est plutôt réussi :<br /> Il faut comprendre que, alors que la vitesse horizontale va soit, resté identique sans atmosphère, ou réduire en atmosphère, l’accélération g, donc de la force de gravité, elle, restera constante, et sans portance ou autre forces additionnelles, l’objet accélèrera vers le sol comme s’il était lâcher.<br /> Cet image animée montre la de façon indépendente les forces verticale et orizontale, ça aide à mieux comprendre :<br /> A contrario, celle-ci montre les deux vecteurs sur l’objet :<br /> Avec ces deux images, je pense qu’on comprend assez bien le concept.<br /> Et c’est déjà une énorme partie de comment fonctionne une orbite.<br /> Maintenant, pour comprendre le rapport entre ça et une orbite, rien de mieux que le concept du canon de Newton.<br /> Imaginez que vous êtes au sommet d’une montagne tellement haute qu’elle arrive en dehors de l’atmosphère, disons à 150 Km d’altitude.<br /> C’est presque 6 fois plus haut que la montagne la plus haute du système solaire qui est le Mont Olympe sur Mars avec 26Km au-dessus de l’équivalent sec du «&nbsp;niveau de la mer&nbsp;» sur Mars.<br /> Si vous tirer avec votre canon à faible vitesse, votre projectile retombera immédiatement devant vous, et plus vous rajouter de vitesse, plus votre projectile ira loin.<br /> Dans cet exemple le canon est parallèle au sol, donc parfaitement horizontal, comme notre fusil l’étais au paravent.<br /> Si on venait à tirer avec des vitesses différentes, les trajectoires ressemblerais à cela :<br /> Plus on va donner de vitesse au projectile, plus il va aller loin, jusqu’au moment où la courbure de la terre rentre assez en compte pour qu’il atteigne le sol plus longtemps après un autre qui aurais était moins loin, simplement car le sol est plus bas.<br /> Si on augmente encore plus, alors on va s’approcher de l’horizon, puis on va l’atteindre, puis passer au-delà.<br /> À force, le projectile va aller assez loin pour parcourir un quart de la terre, car la forme de la trajectoire associée avec la courbe de la Terre va lui permettre d’aller aussi loin.<br /> Si l’on continue de tirer avec encore plus de vitesse, on va atteindre un tiers de la circonférence de la Terre.<br /> On va tirer encore plus fort et atteindre presque la moitié…<br /> Et si on venait à tirer avec assez de vitesse pour que la courbe décrive un cercle parfait autour de la Terre, alors on serrait en orbite au-dessus de la terre.<br /> Comme ceci :<br /> Mais attention, ne pas partir du principe qu’il faut que ce soit un cercle parfait pour être en orbite, ce qui amène au prochain point, qui est très étrange à concevoir au début, qui est que, peux importe l’emplacement et la vitesse de départ, dans une orbite qui n’est pas perturbée, l’objet retournera toujours à son point de départ avec la même trajectoire et la même vitesse.<br /> Si on met de côté l’atmosphère, on pourrait penser qu’avec notre canon à 150 Km d’altitude, si on tirait avec une force légèrement inférieure de celle d’une orbite parfaitement ronde, et que le projectile passerais à ras du sol de l’autre côté de la planète, qu’il tomberait, et bien en fait il n’en est rien, il reviendrait également à son point de départ avec la même vitesse et trajectoire, comme on peut le voir représenté dans cette image :<br /> https://2.bp.blogspot.com/-Rr4jesWaJR4/VATKkmxlOkI/AAAAAAAAxZE/Qj8KmJqL6oU/s1600/cannon2.gif(image plus large que 4096 Ko)<br /> L’inverse est également vrai, si on tirait avec plus de vitesse, le projectile plus rapidement encore, de l’autre côté de la terre, il serrait plus haut que l’altitude du canon mais reviendrait là encore au même endroit avec la même trajectoire et la même vitesse.<br /> La seule exception c’est si le projectile va assez vite pour s’éloigner définitivement de la terre, car sa vitesse est supérieur à la capacité de la gravité à le ramener.<br /> Démonstration avec cette autre image :<br /> https://2.bp.blogspot.com/-MhS9u0EipnM/VATKzlcTPVI/AAAAAAAAxZk/qUc5weoEngc/s1600/cannon4.gif(image plus large que 4096 Ko)<br /> En fait, même quand le projectile tomber au sol, il décrivait déjà une orbite, mais la trajectoire de celle si passé simplement à travers la Terre donc l’objet était arrêtée, comme illustrer ici :<br /> Maintenant vous êtes assez familier avec les bases, mais vous vous demandez quand même, comment ça fonctionne ?<br /> Lors ce que votre objet est tiré de façon parallèle avec le sol, plus il avance et plus il va obtenir un angle avec le sol à cause de la courbature de la Terre, ce qui va réduire cette vitesse.<br /> Vitesse qui normalement ne devrait pas changer dans le vide spatiale, mais à partir du moment ou vous n’êtes plus parallèle avec le sol, la gravité va commencer à agir, mais en même temps la gravité va graduellement lui rajouter une vitesse verticale en l’attirant vers le bas.<br /> Si l’objet à la bonne vitesse, il va perdre et gagner de la vitesse sur ces deux angles de la même façon, ce qui va donner un cercle, donc une orbite bien ronde.<br /> Au contraire, si vous n’avez pas assez de vitesse verticale, ce qui va se passer c’est que vous allez être attiré plus rapidement au sol que vous vous déplacez horizontalement, votre altitude va donc réduire, mais vous allez prendre de la vitesse car votre trajectoire non parallèle vous fait vous diriger vers le sol, et vous vous retrouvé dans une altitude plus basse mais avec plus de vitesse, exactement comme si vous aviez tiré à cette vitesse et dans cette direction avec votre canon.<br /> L’opposé est également vrai, si vous allez assez vite, vous allez avoir plus de vitesse horizontale que la gravité va vous attirer, vous allez donc aller plus loin, et vous vous retrouverez dans la situation inverse, c’est-à-dire comme si vous aviez tiré de très haut avec une faible vitesse.<br /> L’orbite est donc un équilibre constant entre conservation d’énergie et gravité.<br /> Vous en savez maintenant assez pour que je donne un petit peut plus de détails, même si ça n’as pas directement rapport avec les points de Lagrange, je vais vous expliquer rapidement le transfert de Hohmann, car cela va aider à comprendre.<br /> Pour changer d’altitude en orbite, on ne va pas accélérer vers le haut ou vers le bas, la méthode la plus souvent utilisée c’est le transfert de Hohmann qui consiste à passer d’une orbite à une autre par l’intermédiaire de deux manœuvres.<br /> Vous avez surement déjà compris le rapport entre la trajectoire de l’orbite et la vitesse, exactement comme un canon qui tirerait plus ou moins fort, accélérer ou décéléré va faire agrandir ou rapetisser l’orbite, ou plus exactement l’endroit ou on serra lors ce qu’on aura fait la moitié de l’orbite.<br /> Dans cette image de Wikipédia :<br /> 1024×1024 67.8 KB<br /> On se retrouve dans un premier temps dans une orbite basse représenter par la figure 1, puis on accélère pour que le côté opposé de notre orbite devienne plus éloigné représenter par la figure 2, et enfin, une fois au plus haut, on re-accélère pour que l’orbite devienne ronde comme représenter par la figure 3.<br /> L’inverse fonctionne également, passer de la figure 3 à la 1 en faisant deux décélérations.<br /> Petite animation pour mieux comprendre :<br /> Mais pour que cela explique ce qui ce passe vraiment, il manque une dernière explication.<br /> La force de gravité diminue avec la distance, en fait elle est égale à l’inverse du carré de la distance.<br /> Ce qui signifie en gros, qu’elle diminue assez vite, quand la distance est petite, ça ne change pas, mais la différence de gravité au sol et à 150Km est déjà mesurable.<br /> À 100Km on passe de 9.8 m/s² à 9.5 m/s², à 150Km on passe à 9.3 m/s².<br /> Ce qui veux dire que, plus on va haut, et moins la gravité à d’effet sur nous, voilà pourquoi, malgré qu’on accélère pour aller à des orbites plus haute, même en prenant en compte la plus grande distance à parcourir, on met plus de temps à faire le tour de la terre qu’une orbite plus petite, d’ailleurs c’est pour cela qu’on dit qu’il faut d’accéléré pour rattraper un objet devant nous, on se met simplement sur une orbite plus basse où on va tourner plus rapidement autour de la terre et donc rattraper l’objet.<br /> Bien sur lors ce que l’on est assez proche de l’objet, cet effet devient négligeable et simplement accélérer vers lui suffi.<br /> Dernière petite explication, plus l’objet autour duquel on orbite est massif, plus, pour la même altitude d’orbite, on devra allez vite pour maintenir l’équilibre et ne pas accélérer trop vite vers le sol.<br /> Maintenant vous comprenez (j’espère) les points clef de la mécanique orbitale pour comprendre les points de Lagrange.<br /> Revoyons à quoi cela ressemble :<br /> 527×535 287 KB<br /> Comment les points L1 et L2 sont-ils possibles ? Avec ce que je viens d’expliqué, ils ne devraient pas avoir cette vitesse…<br /> En fait, le point L1 lui est possible car même s’il devrait tourner plus vite pour obtenir une orbite stable, il est à la bonne distance entre la Terre et le Soleil pour qu’une partie de la force de gravité de la Terre annule une partie de la force de gravité du Soleil, ça a le même effet que si le soleil était moins massif, et donc ça permet d’être à cette orbite plus lentement qu’on devrait normalement l’être.<br /> Le point L2 lui c’est l’inverse, la force de gravité de la Terre et du Soleil combinée agissent comme si le Soleil était plus massif, permettant donc de faire une orbite plus rapidement que l’on devrait normalement à cette distance du Soleil et donc de rester au même point par rapport à la Terre.<br /> Le point L3 paraît simple, après tout, l’objet devrait simplement rester sur la même trajectoire, non ?<br /> Hélas non, car la mécanique orbitale est très complexe et énormément de choses rentre en jeu, entre la force de gravité des autre astre (Jupiter, Mars, Venus) et la lumière du Soleil entre autre, ce n’est pas un point stable et l’objet va forcément se décaler au bout d’un moment, surtout que la force d’attraction de la Terre, bien que minime à cette distance, va perturber l’objet, l’empêchant d’être sur la même orbite mais simplement à 180° de là.<br /> Le moindre décalage en avance ou en retard sur l’orbite va le rendre plus proche de la Terre, augmentant le problème.<br /> C’est le fameux de différence de stabilité entre un creux et une crête :<br /> 763×393 13 KB<br /> Les points L1 et L2 sont également instable pour la même raison.<br /> Les points L4 et L5 fonctionnent de la même façon, sauf qu’il s’agit d’un équilibre auto stabilisant entre le Soleil, la Terre et cette distance particulière.<br /> Peux importe s’ils s’éloignent en allant en avance ou en retard sur l’orbite ou en gagnant ou perdant de l’altitude, leur position fait que les changements vont toujours les ramener dans ces points.<br /> Une petite démonstration en vidéo avec Universe Sandbox :<br /> Après il faut également réalisé que les points de Lagrange existent entre toute combinaison d’objet assez massif et donc l’un gravite autour de l’autre, il existe aussi bien des points relatif au couple Terre Lune que Soleil Terre.<br /> Dernière petite précision, lors ce que vous voyez une image représentant la trajectoire d’un objet dans un point Lagrange, comme celle-ci :<br /> 1039×782 113 KB<br /> Cela ne signifie pas que l’objet fait des boucles étranges qui défient la mécanique orbitale, il s’agit en fait de l’oscillation provoquée par la différence d’orbite autour du soleil ou de la Terre, de la même façon que relativement au Soleil, la Lune fait des schémas qui pourrait sembler étrange :<br /> Une dernière vidéo qui montre à quoi les points de Lagrange Terre Lune ressemble en orbite autour du soleil :<br /> Pavé César !
Voigt-Kampf
C’est bien pratique la grange, on y stocke un peu ce qu’on veut
hogs
Un grand merci pour ce complément d’information et votre partage. Belle fête à vous
Jouty
Et on peut même y écouter ce qu’on veut, par exemple :<br />
Proutie66
Tu devrais créer des articles, un commentaire ne te rend pas hommage.
Voigt-Kampf
Hep, doucement, il est déjà sollicité pour un comparatif
Pixou
Super article mais oh put.n que j’ai mal aux yeux «&nbsp;Les MythBusters l’on testait&nbsp;»
Demongornot
@hogs<br /> Merci beaucoup, ça fait plaisir, bonne fêtes également !<br /> @Proutie66<br /> Merci, hélas avec ma dyslexie, il faudrait constamment quelqu’un pour corriger.<br /> @Voigt-Kampf<br /> Je serrais assez fou pour réellement faire un comparatif des jeux adultes en réalité virtuelle ou des sites pour adultes, c’est ça le problème, mais je ne pense pas que Clubic apprécierais l’effort <br /> @Pixou Merci, en revanche ce n’est pas l’article, ce n’est que mon commentaire.<br /> Et il faut blâmer cela sur ma dyslexie qui me force à faire confiance au correcteur orthographique, en l’occurrence, actuellement j’utilise LanguageTool qui n’est pas toujours parfait.<br /> Et je ne comprends pas l’erreur que j’ai faite, à part mettre «&nbsp;aient&nbsp;» à la place de «&nbsp;ait&nbsp;» car c’est du «&nbsp;ils&nbsp;» (que LanguageTool me dit être incorrect), je ne vois pas ce qui correspondrait mieux…
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