Salut à vous tous, je suis en terminale S, et la je suis bloqué sur un exo où je ne pige rien aux questions… si vous pouviez m’aider, se serait terrible…
Exercice:
Soit j = e^2iπ/3 le nombre complexe de module 1 et dargument 2π/3. On désigne par A lensemble des nombres complexes de la forme a + bj, o`u a et b sont des entiers relatifs.
Montrer que, pour tout élément z de A, |z|^2 est un entier.
Quels sont les éléments z non nuls de A qui sont tels que 1/z soit également élément de A?
Pour la deuxième question, c’est peut être pas la meilleure solution mais bon :
1/z = 1/ (a+b exp(2ipi/3) on multiplie en haut et en bas par la valeur conjuguee et on obtient :
1/z = (a + b exp (-2ipi/3))/(a²+ab+b²)
Le numérateur peut se réecrire de la façon suivante :
a + b exp(2ipi/3) = a -b/2 -i sqrt(3)/2 b
= a- b - ( -b/2 + i sqrt(3)/2 b)
= a - b - b j
La condition devient donc
(a-b)/(a²+ab+b²) entier et
b / (a²+ab+b²) entier
exp(2ipi/3)= cos 2pi/3 + i sin 2pi/3
et pour la démonstration que c’est un entier j’ai trouvé la réponse con a ma question con…javais lu “entier naturel” et c’est entier… autant pour moi, merci à toi;)