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[Maths] Développement limité - d'une fonction composée

Salut,

J'ai qqs trucs à faire en maths, mais le pb c'est que le prof n'a pas eu le temps de faire tout le cours sur les développements limités de fonctions composées, du coup j'ai un peu de mal....

Alors est ce que quelqu'un voudrait bien m'expliquer comment faire, par exemple pour racine(cos(x)) à l'ordre 4 en 0 ?

En fait je fais un changement de variable en posant u=cos(x) -1, du coup je réinjecte et j'ai a développer racine(1+u), ca va mais après j'obtiens tout en fonction de u, alors comment faire ?
Merci beaucoup.
A+
 
 
t'es en quelle classe pour faire les DL?
 
 
GiLaN a écrit:
t'es en quelle classe pour faire les DL?

Vu son année de naissance, je dirais en 1ère année de prépa avec un an d'avance

Sinon, les DL ça doit faire 4 ans que je n'en ai pas fait, et j'ai un peu tout oublié
 
 
asbel a écrit:
Vu son année de naissance, je dirais en 1ère année de prépa avec un an d'avance


Tout juste
Mais bon on est super à la bourre en maths, alors....
 
 
asbel a écrit:
Vu son année de naissance, je dirais en 1ère année de prépa avec un an d'avance

Sinon, les DL ça doit faire 4 ans que je n'en ai pas fait, et j'ai un peu tout oublié


Prépa ou toute étude scientifique post-bac
 
 
vouais j'ai bien eu peur de ce côté, je croyais qu'on faisait ça en TS maintenant

Pour info, j'suis en sup également et j'ai pas encore abordé les dl
 
 
A priori je verais le DL du cos en 0 pour le réinjecter... mais bon ma prépa commence à dater donc j'en suis pas sûr et ma Ti89 bonne conseillère est restée au taf ce WE.
Edit: et je ne sait plus ce que j'ai fait de mon Maple
 
 
Ben le résultat je l'ai (89 powaaaaa), ca fait 1-x²/4 - x^4/96 + o(x^4), mais bon....

Si seulement Maple pouvait détailler les calculs et les explications
 
 
nonens a écrit:
Salut,

J'ai qqs trucs à faire en maths, mais le pb c'est que le prof n'a pas eu le temps de faire tout le cours sur les développements limités de fonctions composées, du coup j'ai un peu de mal....

Alors est ce que quelqu'un voudrait bien m'expliquer comment faire, par exemple pour racine(cos(x)) à l'ordre 4 en 0 ?

En fait je fais un changement de variable en posant u=cos(x) -1, du coup je réinjecte et j'ai a développer racine(1+u), ca va mais après j'obtiens tout en fonction de u, alors comment faire ?
Merci beaucoup.
A+


Tout d'abord, tu fais un DL(0) de Cos(x), on va dire à l'ordre 4, si tu as peur que ce ne soit pas suffisant pousse un peu...
Tu obtiens quelque chose qui ressemble à 1+u(x) où u(x)=-1/2x^2 + 1/24x^4 + le_terme_en_epsilon

Ensuite, tu dois connaitre le DL(0) de Sqrt(1+x).
Ca te donne une certaine expression : 1 + un_truc_en_fonction_de_x

Il suffit alors de remplacer, de développer et tout ce qui en puissance de x supérieur à 4 rentre dans le terme_en_epsilon
 
 
C'est le genre de trucs les DL, tu vois ça, tu retiens jusqu'au partiel, puis après plus besoin, et tu oublies
 
 
Euh jvois pas trop, dans ton calcul tu utilises mon expression de u ?

 
 
Si j'ai bien compris, t'as fait un DL de Sqrt(1+u).
Jusque là pas de problèmes.

Ensuite, comme tu as posé u = cos -1, tu sais pas trop quoi en faire.
Fait un DL de cos(x) et remplace dans l'expression où il y a des u.

_____________________________________________

Mon principe est le même que le tien, sauf que je m'y prends "à l'endroit"

Tu sais faire un DL(alpha) de Sqrt(1+ qqch_qui_tend_vers_0_en_alpha).
Que faire pour avoir ceci : faire un DL(alpha = 0) de cos(x) !

Dans le cas général, tu sais toujours faire un DL(0) de (1+x)^m
 
 
Ah ok ! Merci beaucoup, j'ai compris à peu près, enfin j'ai réussi à trouver un résultat qui colle^^

C'est juste que dans le cours le prof emploie une méthode bizarre, ou tu cherches a quel degré c'est optimal de faire le DL de la deuxième fonction...
 
 
Bah... je pense qu'il cherche surtout à ne pas oublier de termes.

Si tu t'arrêtes un peu vite, tu peux oublier des termes qui auraient pu en éliminer d'autres ou même changer le signe d'un des degrés du polynôme du DL.
 
 
fbzn a écrit:
Bah... je pense qu'il cherche surtout à ne pas oublier de termes.

Si tu t'arrêtes un peu vite, tu peux oublier des termes qui auraient pu en éliminer d'autres ou même changer le signe d'un des degrés du polynôme du DL.

Oué
En général, ça ne tue personne de pousser les DL un ou deux degré de plus de ce que tu veux à la fin.

Au début, j'essayais d'optimiser les calculs, mais je perdais plus de temps à ça qu'à faire le calcul en lui même.
 
 
asbel a écrit:
Vu son année de naissance, je dirais en 1ère année de prépa avec un an d'avance

Sinon, les DL ça doit faire 4 ans que je n'en ai pas fait, et j'ai un peu tout oublié


Je les ai fait ya 3 mois et j'ai déjà tout oublié
 
 
Bon, nouveau petit problème^^

pour développer exp(sin(x)) en Pi/2 a l'ordre 3, moi je trouve 8/3 - 1/12 (5x²-5Pi x + 5/4 Pi²), la ti 89 trouve e-1/8 (e * (2x-Pi)²)

Ou est l'erreur ?^^

J'ai posé t=x-Pi/2, et u=sinx)cost, développé exp(u) puis cost et remplacé...
 
 
nonens a écrit:
Bon, nouveau petit problème^^

pour développer exp(sin(x)) en Pi/2 a l'ordre 3, moi je trouve 8/3 - 1/12 (5x²-5Pi x + 5/4 Pi²), la ti 89 trouve e-1/8 (e * (2x-Pi)²)

Ou est l'erreur ?^^

J'ai posé t=x-Pi/2, et u=sinx)cost, développé  exp(u) puis cost et remplacé...



Méthode :

sin(x) = sin(x-pi/2 + pi/2) = sin(y + pi/2) = cos(y)

Tu fais donc un DL(0) de cos à l'ordre 5 : 1 - 1/2y^2 + 1/24y^4 + y^5epsilon1(y^5)

Et tu remplaces les y par des x-pi/2.
Tu obtiens : 1 - 1/2(x-1/2Pi)^2 + 1/24(x-1/2Pi)^4 + x^5epsilon2(x^5) où epsilon2(x^5) tend vers 0 en Pi/2

C'est de la forme 1 + u(x) où u(x) tend vers 0 lorsque x tend vers Pi/2

Tu connaisle DL(0) de exp(u) qui est : 1 + u + 1/2u^2 + 1/6u^3 + 1/24u^4 + u^4epsilon3(u^4)

Tu remplaces le u par ce qu'il vaut et le tour est joué !

urple'>Je vais chercher ma soeur chez sa copine et je te fais une feuille Maple pour illustrer tout ça.
 
 
OK merci beaucoup, j'ai copié ça je verrai plus tard, merci d'avance pour ta feuille Maple, désolé si je donne plus de nouvelles ce soir mais je repars sur mon lieu d'études (stras en l'occurence) d'ici 1h, donc je sais pas si je pourrais revenir ce soir, en tous cas merci beaucoup pour tes explications ! Comme ça j'aurai l'air un peu moins con si jamais je passe au tableau

a+
 
 
Voilà, j'ai fait un petit truc vite fait : ICI
(Enregistrer la cible du lien sous...)

Pour les progammeurs : personne ne se moque SVP
 
 
     
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